Las vacas de Arquímedes

Os voy a contar la historia de una venganza. Cuenta la leyenda que Arquímedes se enfadó con Apolonio, ya que éste había calculado una aproximación del número pi mejor que la de él. Más aún, había escrito un tratado sobre la multiplicación de números grandes en el que criticaba su trabajo.
La venganza, por supuesto, no tardó en llegar. Arquímedes no conocía los duelos románticos (por haber nacido demasiado pronto), de modo que recurrió a otro sistema, igualmente efectivo. Creó un problema realmente difícil, cuya solución requería el manejo de números enormes (esos cuyo rival decía conocer tan bien), y se lo envió.
Quién sabe cómo reaccionó Apolonio ante tal crueldad. Lo que parece es que Arquímedes también remitió el problema a Eratóstenes, el bibliotecario jefe de Alejandría, y así es como llegó a nosotros.
En realidad todo esto es una leyenda cuyo grado de veracidad se desconoce.
Sólo hay acuerdo en que el origen del problema en cuestión se remonta por lo menos al siglo II a. C. Y también hay acuerdo en que los números que se deben manejar para resolverlo son grandes en serio: la menor solución consta de 206.545 dígitos.
El enunciado completo del problema fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en la biblioteca de Wolfenbüttel en 1773. Escrito en griego, tenía la forma de versos pareados. Un tanto resumido, es como sigue:

Calcula, oh amigo, el número de la reses del Sol, poniendo tu mente en ello si tienes algo de sabiduría. Calcula la cantidad que una vez pastó en las planicies de Sicilia, dividida según su color en cuatro rebaños: uno blanco, uno negro, uno amarillo y uno moteado. Hubo más toros que vacas, en estas condiciones:
1. Toros blancos = toros amarillos + (1/2 + 1/3) toros negros.
2. Toros negros = toros amarillos + (1/4 + 1/5) toros moteados.
3. Toros moteados = toros amarillos + (1/6 + 1/7) toros blancos.
4. Vacas blancas = (1/3 + 1/4) rebaño negro.
5. Vacas negras = (1/4 + 1/5) rebaño moteado.
6. Vacas moteadas = (1/5 + 1/6) rebaño amarillo.
7. Vaca amarillas = (1/6 + 1/7) rebaño blanco.
Si puedes dar, oh amigo, la cantidad de toros y vacas en cada rebaño, no desconoces el arte de los números. Pero aún no puedes ingresar al grupo de los sabios. Para ello deberás considerar también estas nuevas relaciones entre los toros del Sol:
8. Toros blancos + toros negros = un cuadrado perfecto.
9. Toros moteados + toros amarillos = un número triangular, es decir, de la forma n(n+1)/2, siendo n un entero.
Cuando hayas calculado los totales del rebaño, oh amigo, entonces con justicia proclámate vencedor y marcha orgulloso, pues tu fama brillará en el mundo de la sabiduría.